Définition

START
Théorème
Définition d'une fonction différentiable - définition d'une différentielle
Hypothèses:

• soient \(E,F\) deux \({\Bbb R}\)-espaces vectoriels normés
• soit \(U\) un ouvert de \(E\)
• soit \(f:U\to F\)
• soit \(a\in U\)
• il existe une application linéaire continue \(df(a)\in L_C(E,F)\) telle que $$f(a+h)-f(a)-df(a)(h)=o(\lVert h\rVert_E)$$

(\(df(a)(h)\underset{h\to0}\sim f(a)-f(a+h)\))
Résultats:

• on dit que \(f\) est différentiable en \(a\)
• on appelle \(df(a)\) sa différentielle en \(a\)

Equivalence?:
Résumé: La différentielle est la partie linéaire en \(h\) de \(f(a+h)-f(a)\), qui n'est pas un petitot de \(h\).
END
Définition :
\(f\) est différentiable sur \(U\) ouvert si et seulement si elle est différentiable en tout point de \(U\)

Fonction ayant une composante

Soit \(f:{\Bbb R}^n\to{\Bbb R},x_0\in{\Bbb R}^n\)
\(f\) est différentiable en \(0\) s'il existe une application linéaire \(l:{\Bbb R}^n\to{\Bbb R}\) telle que : $$\lim_{\lVert h\rVert\to 0}\frac{f(x_0+h)-f(x_0)-l(h)}{h}=0$$
I.e. Si \(f\) admet un DL à l'ordre \(1\) en \(x_0\)
On note \(df(x_0)\) cette fonction \(l\)
(Développement limité, Fonction linéaire - Application linéaire - Transformation linéaire - Linéarité)
On appelle différentielle de \(f\) au point \(M_0\in\Omega\subset\Bbb R^m\), et on note \(df_{M_0}\), l'application qui au vecteur \(\overrightarrow{\Delta M}\) (\(\overrightarrow{\Delta M}=h\vec i+k\vec j\in\Bbb R^2\) ou \(\overrightarrow{\Delta M}=h\vec i+k\vec j+l\vec k\in\Bbb R^3\)), associe la partie linéaire du développement limité de \(f\) à l'ordre \(1\) en \(M_0\) : $$df_{M_0}:\begin{align}\Bbb R^m&\to\Bbb R\\ df_{M_0}(\overrightarrow{\Delta M})&={{\overrightarrow{\operatorname{grad}(f)}_{M_0}\cdot\overrightarrow{\Delta M} }}\end{align}$$
La fonction \(f\) se dit alors différentiable en \(M_0\)
(Développement limité)

Fonction ayant plusieurs composantes

Définition :
Soit $$\begin{align} F&:{\Bbb R}^n\longrightarrow{\Bbb R}^p\\ F&=(f_1,\ldots,f_p)\end{align}$$
La différentielle de \(F\) est $${{dF(x)}}={{(df_1(x),\ldots,df_p(x))}}$$

Propriétés

Unicité

Proposition :
Si la différentielle de \(f\) existe, alors elle est unique

Cas constant

Différentielle d'une fonction constante :

• \(f\) est constante

$$\Huge\iff$$

• \(df(a)=0\)

Cas réel

START
Théorème
Différentielle dans les réels
Soit \(f\) une fonction définie sur \({\Bbb R}\)
Hypothèses:

• soit \(a\in{\Bbb R}\)
• $$df(a)(h)=hf^\prime(a)$$

Résultats:

• \(f\) est dérivable en \(a\)

Equivalence?: y
Résumé: Une fonction réelle est dérivable si et seulement si sa différentielle est \(hf^\prime(a)\).
END

Différentiabilité d'un produit

Différentiabilité d'un produit :

• soient \(f_i:E\to F_i\) pour \(i\in[\![1,n]\!]\)
• soit \(F:=F_1\times\dots\times F_n\)
• \(f_1,\dots,f_n\) sont différentiables en \(a\in E\)

$$\Huge\iff$$

• \(f:=f_1\times\dots\times f_n\) est différentiable en \(a\)

Cas d'une fonction linéaire

Différentielle d'une fonction linéaire :

• \(f\) est une fonction linéaire continue

$$\Huge\iff$$

• \(f\) est différentiable et $$df(u)(h)=f(h)$$

Cas d'une fonction multilinéaire

Différentielle d'une fonction multilinéaire :

• \(f:E_1\times\dots\times E_n\to F\) est multilinéaire et continue

$$\Huge\iff$$

• \(f\) est différentiable et $$df(a)(h)=\sum^n_{i=1}f(a_1,\dots,a_{i-1},h,a_{i+1},\dots,a_n)$$

(Application multilinéaire)

En fonction de normes

Différentiabilité en fonction de normes :

• soit \(f:C([0,1])\to F\)
• \(f(0)=0\)

$$\Huge\iff$$

• \(f\) est différentiable pour \(\lVert\,\rVert_\infty\) mais pas pour \(\lVert\,\rVert_1\)

Lien avec la continuité

Lien entre différentiabilité et continuité :

• \(f\) est différentiable en \(a\)

$$\Huge\iff$$

• \(f\) est continue en \(a\)

\(\longrightarrow\) démonstration via passage à la limite et définition de la différentielle

Linéarité

Linéarité des différentielles :

• \(f\) et \(g\) sont différentiables en \(a\)
• soit \(\lambda\in{\Bbb R}\)

$$\Huge\iff$$

• $$\begin{align} &d(f+g)(a)=df(a)+dg(a)\\ &\quad\text{ et }\quad\\ & d(\lambda f)(a)=\lambda df(a)\end{align}$$

Règle de la chaîne

Règle de la chaîne (différentielles) :

• \(f\) est différentiable en \(a\)
• \(g\) est différentiable en \(f(a)\)

$$\Huge\iff$$

• \(g\circ f\) est différentiable et \(a\) et $$d(g\circ f)(a)(h)=dg(f(a))(df(a)(h))$$

(Règle de la chaîne - Dérivée d'une fonction composée)
Règle de la chaîne pour les différentielles : $$d(g\circ f)(a)(h)={{dg(f(a))(df(a)(h))}}$$ Soit \(f:{\Bbb R}^n\to{\Bbb R}\) et \(\gamma:{\Bbb R}\to{\Bbb R}^n\) deux fois différentiables
Alors $${{(f\circ\gamma)^\prime}}={{\langle\nabla f\circ\gamma,\gamma^\prime\rangle}}$$
Soit \(f:{\Bbb R}^n\to{\Bbb R}\) et \(\gamma:{\Bbb R}\to{\Bbb R}^n\) deux fois différentiables
$$\begin{align} {{(f\circ \gamma)''}}&={{\langle(\nabla f\circ\gamma)^\prime,\gamma^\prime\rangle+\langle\nabla f\circ \gamma,\gamma{''}\rangle}}\\ &={{\langle(\operatorname{Hess}f)(\gamma(\cdot))\cdot\gamma^\prime,\gamma^\prime\rangle}}\end{align}$$

Différentielle d'un inverse

Différentielle d'un inverse :

• \(f\) est \(\mathcal C^1\) un difféomorphisme

$$\Huge\iff$$

• \(df(x)\) est inversible \(\forall x\)
• $$df^{-1}(y)=df(f^{-1}(y))^{-1}$$

Ordre supérieur

Différentielle seconde

Formules utiles

Lien avec les dérivées partielles

Si \(f\) est différentiable, alors ses dérivées partielles existent et : $${{df(x_0)(h)}}={{\sum^n_{i=1}h_i\frac{\partial f}{\partial x_i}(x_0)}}$$ Lien différentielle/dérivées partielles : $${{ df(x)(h)=\sum_{i=1}^n\frac{\partial f}{\partial x_i}(x)h_i }}$$
Si \(f\) est différentiable, alors on a : $${{\frac{\partial f}{\partial x_i}(x_0)}}={{df(x_0)(0,\ldots,\underbrace{1}_{i\text{eme élément} },\ldots,0)}}$$
(Dérivée partielle)

Lien avec les dérivées directionnelles

Si \(f\) est différentiable, alors on a : $${{D_vf(x_0)}}={{df(x_0)(v)}}$$
(Dérivée directionnelle)

Différentielle d'une fonction linéaire

Si \(f\) est linéaire, alors $$df(x_0)=f$$
(Fonction linéaire - Application linéaire - Transformation linéaire - Linéarité)

Liens avec les dérivées directionnelles

Théorème :
Soit \(f:\Omega\subset\Bbb R^m\to\Bbb R\)
Si \(f\) est différentiable en \(M_0\in\Omega\), alors toutes les dérivées directionnelles et dérivées partielles de \(f\) existent en \(M_0\)
(Dérivée directionnelle, Dérivée partielle)

Matrice

Proposition :
La matrice de l'application linéaire \(dF(x)\) est : $$J_F(x)$$
(Matrice d'une application linéaire, Matrice jacobienne - Jacobienne)

Exercices

Calculer la differentielle de la fonction suivante en un point arbitraire du domaine de définition $$f(x,y)=\sin^2x+\cos^2y$$

\(f\) est définie et dérivable par rapport à \(x\) et \(y\) sur \({\Bbb R}^2\)

$$\begin{align} df(x,y)&=\frac{\partial f}{\partial x}(x,y)\,dx+\frac{\partial f}{\partial y}(x,y)\,dy\\ &=2\sin x\cos x\,dx-2\cos y\sin y\,dy\end{align}$$
(avec \(dx\) et \(dy\) deux formes linéaires)

Notions liées

Différentiation implicite